Όιλερ, Λέοναρντ

(Leonhard Euler, Βασιλεία 1707 – Πετρούπολη 1783). Ελβετός μαθηματικός. Υπήρξε μαθητής του Τζοβάνι Μπερνούλι και το 1730 ονομάστηκε καθηγητής της φυσικής στην Ακαδημία Επιστημών της Πετρούπολης, όπου το 1733 διαδέχτηκε τον Ντανιέλε Μπερνούλι στην έδρα των μαθηματικών. Το 1741 τον κάλεσε ο Φρειδερίκος B’ να διευθύνει το μαθηματικό τμήμα της Ακαδημίας του Βερολίνου, αλλά το 1766 επέστρεψε στην Πετρούπολη. Ο Ό. εργάστηκε στις πιο ποικίλες περιοχές των μαθηματικών και παντού άφησε τη σφραγίδα της μεγαλοφυΐας του. Ιδιαίτερα ασχολήθηκε με την ανάλυση, την αναλυτική γεωμετρία, τη διαφορική γεωμετρία, τη θεωρία των αριθμών, το λογισμό των μεταβολών, τη μηχανική, τη φυσική και τη στοιχειώδη γεωμετρία. Τα έργα του συγκεντρώθηκαν σε πενήντα περίπου τόμους και σε πολλά δημοσιεύματα στο Βερολίνο και στην Πετρούπολη. Το όνομα του Ό. έχει συνδεθεί με ένα μεγάλο πλήθος αποτελεσμάτων στα μαθηματικά. Αναφέρουμε εδώ μερικά: η συνάρτηση φ του Ό.: πρόκειται για τη συνάρτηση ενός φυσικού αριθμού m, που η τιμή της, φ(m), εκφράζει το πλήθος των μη μεγαλύτερων του m φυσικών αριθμών, που είναι πρώτοι προς τον m. Αν είναι , όπου οι α₁, α₂, ..., α_κ είναι πρώτοι αριθμοί, διάφοροι μεταξύ τους ανά δύο, τότε είναι: . Το θεώρημα των Όiλερ - Φερμά βεβαιώνει ότι, αν n είναι πρώτος προς τον m, τότε ισχύει: φ(m)=1(mod m), όπου φ είναι η συνάρτηση του Όιλερ. Ο τύπος του Ό. στην ανάλυση: e^iz = συνz + inμz για κάθε μιγαδικό αριθμό z συνδέει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις συν και ημ με την εκθετική συνάρτηση. Ο τύπος του Ό. στη διαφορική γεωμετρία: εκφράζει την καμπυλότητα μιας κάθετης τομής (u) μιας επιφάνειας με τις δυο πρωτεύουσες κάθετες καμπυλότητες και με τη γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της (u) με το επίπεδο, στο οποίο αντιστοιχεί η μια από τις πρωτεύουσες καμπυλότητες. Η σταθερά του Ό. (ή του Μασκερόνι): η σταθερά που ορίζεται από τον τύπο: (δεν είναι γνωστό, αν ο αριθμός αυτός είναι υπερβατικός). Η διαφορική εξίσωση του Ό.· η εξίσωση με τύπο: Τη διαφορική αυτή εξίσωση μελέτησε, γύρω στο 1740, ο Ό. και φέρει το όνομά του, αν και η γενική της λύση ήταν γνωστή από τον Τζοβάνι Μπερνούλι από το 1700. Στον Ό. οφείλεται και η διαφορική εξίσωση: , όπου , μια αναγκαία συνθήκη για την «ελαχιστοποίηση» του ολοκληρώματος: είναι: η συνάρτηση y να είναι λύση της προηγούμενης διαφορικής εξίσωσης του Ό. Αυτή η συνθήκη και η ακόμα γενικότερη: , όπου δόθηκαν για πρώτη φορά από τον Ό. το 1744. Το όνομα του Ό. και του Λαγκράνζ φέρει η εξίσωση: όπου: και συνδέεται με την ελαχιστοποίηση ενός διπλού ολοκληρώματος: (αυτά τα προβλήματα ελαχιστοποίησης αναφέρονται στον λογισμό των μεταβολών). Το θεώρημα του Ό. για τις ομογενείς συναρτήσεις: αν f είναι μια ομογενής συνάρτηση των ν μεταβλητών x₁, x₂,..., x_ν με βαθμό ομογένειας μ, τότε (κάτω από ορισμένες υποθέσεις) ισχύει ότι: το γινόμενο μf(x₁ x₂,..., x_ν) είναι ίσο με το εξής άθροισμα γινομένων: x₁fx₁ (x₁, x₂,..., x_ν) + x₂ fx₂ (x₁, x₂,..., fx_v) + ... + x_ν fx_v (x₁, x₂,..., x_ν), όπου fx₁, fx₂,..., fx_v δηλώνουν τις πρώτες μερικές παραγώγους της f ως προς τις μεταβλητές x1 x2,..., xν. Π.χ. για τη συνάρτηση με τύπο f(x, y, z) = x² + xy + z² είναι: μ = 2, fx = 2x + y, fy = x, fz = 2z και, πραγματικά, ισχύει: 2 (x² + xy + z²) = x · (2x + y) + y · (x) + z · (2z) για όλα τα χ, y, z. Το θεώρημα του Ό. για τα πολύεδρα: αν Κ είναι ο αριθμός των κορυφών, Α των ακμών και Ε των εδρών ενός απλού πολυέδρου, τότε ισχύει: Κ - A + Ε = 2. Η χαρακτηριστική του Ό. (στη συνδυαστική τοπολογία): προκειμένου για μια καμπύλη η χαρακτηριστική του Ό. είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού των «κορυφών» και του αριθμού των «τμημάτων», όταν η καμπύλη χωριστεί με σημεία (κορυφές) σε τμήματα, τέτοια ώστε το καθένα τους (μαζί με τα άκρα του) να είναι τοπολογικά ισοδύναμο με ένα κλειστό ευθύγραμμο τμήμα (δηλαδή να μπορεί να μετασχηματιστεί συνεχώς σ’ ένα κλειστό διάστημα). Προκειμένου για μια επιφάνεια, αν χωριστεί με σημεία (κορυφές) και με τόξα (ακμές) σε τμήματα (έδρες), τότε η χαρακτηριστική Ό. της επιφάνειας είναι ίση με το πλήθος των κορυφών πλην το πλήθος των ακμών συν το πλήθος των εδρών, εφόσον κάθε έδρα είναι τοπολογικά ισοδύναμη με ένα επίπεδο πολύγωνο. Και στις δυο περιπτώσεις (για καμπύλες και επιφάνειες) η χαρακτηριστική είναι ανεξάρτητη από τον τρόπο που πραγματοποιείται το χώρισμα (σε τμήματα για τις καμπύλες, σε έδρες για τις επιφάνειες). Η έννοια δόθηκε από τον Ό. και γενικά προκειμένου για έναν υπερχώρο. Ο τύπος των Ό. και Μακλόριν: τύπος για τον προσεγγιστικό υπολογισμό ενός ολοκληρώματος, όταν η συνάρτηση f παραγωγίζεται απεριόριστα και η διαφορά β- α είναι ένας ακέραιος αριθμός έστω μ. Ο τύπος αυτός είναι ο εξής: για κάθε ν, όπου κατάλληλος αριθμός με και B_v είναι ένας αριθμός του Μπερνούλι. Οι γωνίες του Ό.: αν Oxyz και Οξηζ είναι δυο τρισορθογώνια συστήματα αναφοράς και η είναι η τομή των συντεταγμένων επιπέδων xy και ξη, τότε ορίζονται ως γωνίες του Ό. οι εξής: η γωνία των αξόνων ζ,z (), η γωνία του ξ - άξονα με την η (φ) και η γωνία του x - άξονα με την n (ψ). Η ευθεία Ό. ενός τριγώνου (στη στοιχειώδη γεωμετρία):σε κάθε τρίγωνο του επιπέδου το ορθόκεντρο Η, το κέντρο βάρους του G και το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου ανήκουν στην αυτή ευθεία (ευθεία του Ό), και μάλιστα είναι: HG = 2 GD. Ο κύκλος Ό. ενός επίπεδου τριγώνου (στη στοιχειώδη γεωμετρία): σε κάθε επίπεδο τρίγωνο τα μέσα των πλευρών του, τα ίχνη των υψών του στις αντίστοιχες πλευρές και τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων, που ορίζει το ορθόκεντρο του με τις κορυφές του (εννέα σημεία), ανήκουν στον ίδιο κύκλο (κύκλος του Ό. ή κύκλος των 9 σημείων.